高次爱森斯坦元、高次艾希勒公式与赫克代数的秩

设 $N$ 和 $p$ 为素数，且 $p$ 整除 $\frac{N-1}{12}$ 的分子。本文研究作用于权为 $2$、水平为 $\Gamma_0(N)$ 的尖点模形式上、在 $p$-极大爱森斯坦理想处的赫克代数完备化的秩 $g_p$。我们特别给出了一个判断 $g_p \geq 3$ 的显式判据，从而部分回答了马祖尔的一个问题。为研究 $g_p$，我们发展了\textit{高次爱森斯坦元}的理论，并在四个不同的赫克模中计算了最初几个此类元素。这具有一些应用，例如特征 $p$ 下艾希勒质量公式的推广。