通过希尔波-查尔 morphism 计算结构层的高阶直接像

设 $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上的一个射影光滑曲面且 $H^2(\mathcal{O}_X)=0$。设 $M=M(L,\chi)$ 为具有行列式 $\mathcal{O}_X(L)$ 和欧拉特征数 $\chi$ 的一维半稳定束的模空间。我们有希尔波-查尔 morphism $\pi:M\rightarrow |L|$。在 $M$ 和 $|L|$ 具备一定温和条件时，我们给出 $R^i\pi_*\mathcal{O}_M$ 的显式形式。我们的结果表明 $R^i\pi_*\mathcal{O}_M$ 是直和形式的线束。特别地，利用我们的結果可得 $\pi^*\mathcal{O}_{|L|}(m)$ 的欧拉特征数的显式公式，而在 $X=\mathbb{P}^2$ 情形下，这一结果曾被钟-Moon 猜想。