反正切函数的高阶导数及一个含二项式系数的求和公式

2017 年，O. Deiser 与 C. Lasser 给出了反正切函数 $n$ 阶导数的显式公式。我们基于 Faà di Bruno 公式用另一种方法计算了该导数。比较两结果可得如下二项式系数恒等式：$$\sum_{i=m}^{[n/2]}\frac{(-1)^i}{4^i}\binom{i}{m}\binom{n-i}{i}=\frac{(-1)^m}{2^n}\binom{n+1}{2m+1},$$ 其中 $n,m\in \mathbb{N}_0$ 且 $m\leq [n/2]$。正如 C. Krattenthaler 向作者指出的，该公式是超几何函数 $_2F_1$ 的 Gauß 公式的一个特例。