Faà di Bruno 公式与幂级数反演

Faà di Bruno 公式给出了两个实值函数复合的导数表达式。本文中我们证明了高维情形下 Faà di Bruno 公式的一个多元综合版本，针对函数 $F^{(l)} : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ 的链复合 $F^{(1)} \circ \ldots \circ F^{(m)}$，以带标号树上的求和给出了导数的组合表达式。我们给出该公式的若干应用，包括一个用于多元幂级数反演的新对合公式。我们利用此框架概述研究多项式映射可逆性的组合方法，给出了 Jacobian 猜想的纯组合重述。我们的方法自然推广到非交换情形，其中我们证明了自由不定元上多元幂级数的自由版 Faà di Bruno 公式，并将该公式用作获取自由幂级数新反演公式的工具。