Anharmonic Oscillators 的 Stokes 乘子高精度计算与 PSLQ 识别

Jian Zhou

Anharmonic Oscillators 的 Stokes 乘子高精度计算与 PSLQ 识别

数学软件 2026-03-31 v1 数值分析数值分析

作者: Jian Zhou

摘要

我们提出了大规模计算研究，将任意精度算术、序列加速与 PSLQ 整数关系算法相结合，以发现渐近分析中基本常数的闭式表达式。我们计算了一维阴谋振子 H = p^2/2 + x^2/2 + g x^{2M} 中 Stokes 乘子 C_M，当 M = 2, 3, ..., 11 时，从最高工作精度下的 1200 个扰动系数中提取出 17-30 位有效数字。计算管道包含三个阶段：(i) 以谐振子基底进行的 Rayleigh-Schrodinger 递归，(ii) 对比值序列进行阶数为 40-100 的 Richardson 外推以加速收敛，(iii) 对 Gamma 函数值和代数数的基进行 PSLQ 搜索。该管道发现了三个新的精确恒等式：C_3^2 \pi^4 = 32，C_5^4 Gamma(1/4)^4 \pi^5 = 2^{12} 3^2，以及 C_7^6 Gamma(1/3)^9 \pi^6 = 2^{20} 3^3，除此之外还确认了已知的 C_2^2 \pi^3 = 6。在负面结果同样重要：在 30 位精度下进行的穷举 PSLQ 搜索，系数上限达到 2000，未发现 C_4 的闭式表达，这强有力地表明 x^8 案例引入了一个真正的新型超越数。一个数论模式浮现：闭式存在性与欧拉全向函数 phi(M-1)/2 相关后者计数在分母为 M-1 时代数独立的 Gamma 函数超越数。我们提出了将计算常数识别与经典数论联系起来的猜想，并提供了全部代码和数据以实现完全可复现。

关键词

Stokes 乘子阴谋振子 PSLQ 算法任意精度算术 Richardson 外推 Gamma 函数超越数欧拉全向函数

引用

@article{arxiv.2603.27613,
  title  = {High-Precision Computation and PSLQ Identification of Stokes Multipliers for Anharmonic Oscillators},
  author = {Jian Zhou},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2603.27613},
  year   = {2026}
}

Anharmonic Oscillators 的 Stokes 乘子高精度计算与 PSLQ 识别

摘要

关键词

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