渐近欧几里得 warped product 上的高频预解式估计

我们考虑适当 0-Gevrey 类中渐近欧几里得 warped product 流形上的预解式 (resolvent)，其俘获集 (trapped sets) 仅由有限多个分量组成。我们证明，高频预解式要么被 $C_\epsilon |\lambda|^\epsilon$ 界住（对于任意 $\epsilon>0$），要么比任何多项式发散得更快（至少沿某个子序列）。如果流形是解析的，则存在更强的结果。证明方法是利用 warped product 结构进行变量分离，从而得到一个一维半经典 Schr"odinger 算子。随后，我们对与势能每一种可能的临界值相关的微观局部预解式行为进行分类，并将其转化为相应的预解式估计。弱稳定俘获允许高度集中的准模 (quasimodes) 和预解式的快速增长。相反，利用一种基于经典正交换子论证的精细非齐次爆破过程，我们表明任何弱不稳定俘获都会迫使准模至少发生某种程度的扩散。作为第一个应用，我们得出结论：要么存在一个大小为 $| \Im \lambda | \leq C_\epsilon | \Re \lambda |^{-1-\epsilon}$ 的无共振区域（对于任意 $\epsilon>0$），要么存在一个比任何多项式更快地收敛到实轴的共振序列。同样，如果流形是解析的，则存在更强的结果。作为第二个应用，我们证明了部分矩形台球中弱准模的扩散结果。