天度量、BPS 指标与扭量

近来，T. Bridgeland 基于由 Donaldson-Thomas 不变量确定的黎曼-希尔伯特问题，在三角范畴的稳定条件空间上的切丛上定义了一复超凯勒度量。该度量编码于满足天方程的函数 $W(z,\theta)$ 或满足等单值方程的函数 $F(z,\theta)$ 中。在将黎曼-希尔伯特问题改写为 TBA 型方程系统后，我们得到了 $W$ 与 $F$ 用该系统解表示的积分表达式。这些表达式被识别为研究 D-瞬子与 BPS 黑洞时出现的“瞬子生成势”与“接触势”的共形极限。通过迭代求解 TBA 方程，我们重现了 Joyce 最初将 $F$ 构造为有理 DT 不变量形式级数。此外，我们给出了涉及非交换星乘子的天方程与等单值方程的形变版本的类似解。在有限无耦合 BPS 结构情形下，我们重新推导了 Bridgeland 先前获得的结果，并以 Barnes $G$ 函数的适当双变量推广给出了任意纤维坐标 $\theta$ 值下的所谓 $\tau$ 函数。