布朗边界区域的热含量与内半径

本文考虑$m$维欧几里得空间$\mathbb R^m$和$m$维环面$\mathbb T^m$上时间长度为$s>0$的布朗运动$\beta[0; s]$。我们计算了以下量的期望：(i) 当$\beta[0; s]$对所有$t>0$保持温度1，且$\mathbb R^m\setminus \beta[0; s]$初始温度为0时，在$t\downarrow 0$极限下，对于固定$s$和$m=2,3$，$\mathbb R^m\setminus \beta[0; s]$在时间$t$的热含量；(ii) 在$s\rightarrow \infty$极限下，对于$m=2,3,\cdots$，$\mathbb R^m\setminus \beta[0; s]$的内半径。