双曲空间上分数阶拉普拉斯型算子的 Harnack 不等式

我们针对双曲空间 $\mathbb{H}^{n}_{\kappa}$（曲率为 $-\kappa<0$）上一大类阶数为 $2s \in (0,2)$ 的非局部算子建立了 Krylov--Safonov 理论。我们证明了 Alexandrov--Bakelman--Pucci (ABP) 估计、Krylov--Safonov Harnack 不等式以及 H"older 估计。值得注意的是，即便对分数阶拉普拉斯算子而言，该 Harnack 不等式也是新的。这些结果的新颖性在于正则性估计在 $s \to 1$ 和 $\kappa \to 0$ 时的鲁棒性：当 $s \to 1$ 时，它们恢复双曲空间 $\mathbb{H}^{n}_{\kappa}$ 上二阶算子的经典正则性估计；当 $\kappa \to 0$ 时，恢复欧氏空间上分数阶算子的正则性估计。由于双曲空间上的算子与其欧氏对应算子表现出质的不同行为，我们引入了新的尺度函数以考虑负曲率的影响。