灯饰图上有限 $p$-能量的调和函数必为常数

本文旨在证明，在空间图无限且至多二端、灯图至多二端的灯饰图上，对于任意 $p\in [1,\infty[$，除常数外不存在梯度属于 $\ell^p$（即有限 $p$-能量）的调和函数（等价地，其约化 $\ell^p$ 上同调在一维平凡）。利用类似论证，我们也证明了许多图的直接乘积（包括所有 Cayley 图的直接乘积）不容许梯度属于 $\ell^p$ 的非恒定调和函数。证明依赖于 Thomassen 关于图的平方中生成线的定理。