哈密顿谱不变量、辛旋量与 Frobenius 结构 I

这是旨在将辛旋量引入辛拓扑领域和 Frobenius 结构主题的两篇文章中的第一篇。在展示了辛旋量背景下 Frobenius 结构或'Higgs 对’的（暂定）公理化设定后，我们提出了关于局部 Schroedinger 方程、第一结构联络以及‘谱’存在的直接观察结果，包括其拓扑解释及其与‘形式性’的联系，这些对于标准 Frobenius 结构的情形均成立。我们利用 metaplectic 标架丛的$G$-扩张的某些$U(n)$-约化及其上的某种联络，对后者的不可约量和不可分解量进行了分类，其中$G$是 metaplectic 群与 Heisenberg 群的半直积，而不可分解情形还涉及$n$维谐振子本征态的组合结构。在第二部分中，我们将一个不可约 Frobenius 结构与余切丛$T^*M$上的任何哈密顿微分同胚$\Phi$相关联。与该 Frobenius 结构相关的$T^*(T^*M)$中的谱 Lagrangian 恰好在$\Phi$的不动点处与零截面$T^*M$相交。通过在$T^*\tilde M$上定义一个取值为$C^*$的函数（由作用于旋量的 Heisenberg 群的矩阵系数定义，其中$\tilde M$是$M$的某种‘复化’），其临界点与$\Phi$的不动点一一对应，或者说与谱 Lagrangian 和零截面$T^*\tilde M$的交点一一对应，我们给出了$\Phi$不动点数量的下界。我们讨论了如何通过将上述函数提升到$T^*\tilde M$的适当循环覆盖上的实值函数，并对‘半无限’链使用极小极大方法，来定义 Viterbo 和 Oh 意义上的谱不变量。