辛结构扰动与辛不变量的连续性

本文研究由Hamiltonian Floer理论产生的辛不变量如何在辛结构扰动（不一定在同一上同调类）下变化。这些辛不变量包括谱不变量、边界深度以及（部分）辛拟态。本文可分为两部分。在第一部分，我们证明了一些控制辛作用泛函偏移的能量估计。这些直接暗示了在某些重要情形（包括任意辛曲面 $\Sigma_{g \geq1}$ 以及任意满足 $\dim_{\mathcal K} H^2(M; \mathcal K) = 1$ 的闭辛流形 $M$）下谱不变量和边界深度的连续性之正面结论。这继之以关于辛流形子集在重性与超重性意义上的某些刚性，以及某些辛容量的连续性性质的应用。在第二部分，我们将第一部分的构造推广到任意闭辛流形。特别地，为处理辛结构扰动引起的Novikov环的变化，我们构造了一族基于公共Novikov型环的变体Floer链复形。在此框架下，我们定义了一族称为 $t$-谱不变量的新谱不变量，并证明它们在辛结构扰动下是上半连续的。这在某些动力学假设下暗示了从 $(\mathbb R^{\infty}, |-|_{\infty})$ 到 $({\widetilde {\rm Ham}}(M, \omega), |-|_{\rm Hofer})$ 的拟等距嵌入，模仿了Usher的一个结果。