哈密顿谱不变量、辛旋量与弗罗贝尼乌斯结构 II

在本文中，我们继续在辛旋量的背景下研究“弗罗贝尼乌斯结构”与辛谱不变量。通过研究容许亚辛结构及其亚辛标架丛的平行 $\hat O(n)$-约化的辛流形 $M$ 上的 $C^1$-小哈密顿映射，我们推导出与此哈密顿映射 $\Phi$ 相关的“奇异刚性” respective “自对偶”不可约弗罗贝尼乌斯结构对的构造如何在不可约弗罗贝尼乌斯结构集合上导出 Hopf 代数型结构。随后我们推广该构造并抽象地定义出与给定 $C^1$-小哈密顿映射相伴的“对偶对”出现的条件，这些对偶对本质上是余切丛 $T^*M$ 的闭截面以及 $M$ 上（一般为奇异的）相容殆复结构对 $(s_1, J_1), (s_2, J_2)$，满足涉及 Koszul 括号的某些可积性条件。在本文第二部分，我们将与 $C^1$-小哈密顿系统相关的一般“对偶对”弗罗贝尼乌斯结构的这些刻画条件转化为矩阵分解的概念。我们提出一种涉及 $M$ 上函数环的某些分式理想上的模的代数框架，使得上述意义下的“对偶对”集合与这些模相关的矩阵分解集合之间建立双射关系。在实解析情形中，我们利用由给定对 $(s_1, J_1), (s_2, J_2)$ 导出的 Cheeger-Simons 型微分特征，证明了一个黎曼-罗赫型定理，将上述事实中由给定矩阵分解产生的某个欧拉特征标与 $M$ 上的（整）上同调数据相关联。我们提出将这些技术推广到 $\Phi$ 的“测地凸性-小性”情形以及 $M$ 上一般哈密顿系统的情形。