关于粗糙 Frobenius 型定理及其 Hölder 估计

本论文研究非光滑情形下的 Frobenius 型定理。我们利用广义函数将对合性定义推广至非 Lipschitz 子丛。我们证明了关于 log-Lipschitz 子丛具有尖锐正则性的实 Frobenius 定理。我们还发展了关于 log-Lipschitz 向量场的 Frobenius 定理的一个奇异版本：若 $X_1,\dots,X_m$ 为 log-Lipschitz 向量场，满足 $[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^mc_{ij}^kX_k$，其中 $c_{ij}^k$ 为 log-Lipschitz 函数的导数，则对任意点 $p$，存在一个包含 $p$ 的 $C^1$-流形，使得 $X_1,\dots,X_m$ 张成其切空间。在定量方面，若 $c_{ij}^k\in C^{\alpha-1}$（其中 $1<\alpha<2$），则在 $X_1,\dots,X_m$ 张成切空间的每个叶上，可找到一个正则参数化 $\Phi$，使得 $\Phi^*X_1,\dots,\Phi^*X_m$ 为 $C^\alpha$，且其 $C^\alpha$ 范数仅依赖于 $X_1,\dots,X_m$ 的微分同胚不变量。对于复 Frobenius 结构，存在一个坐标图 $F$，其像位于 $\mathbb R^r_t\times\mathbb C^m_z\times \mathbb R^{N-r-2m}_s$ 中，使得该结构局部由 $F^*\partial_t,F^*\partial_z$ 张成。当其具有 Hölder 正则性 $\alpha>1$ 时，我们证明坐标图 $F$ 可取为 $\mathscr C^\alpha$，且向量场 $F^*\partial_t,F^*\partial_z$ 对每个 $\epsilon>0$ 为 $\mathscr C^{\alpha-\epsilon}$。我们给出一个例子说明关于 $F^*\partial_z$ 的正则性结果是最优的。当复 Frobenius 结构 $S$ 为 $C^\alpha$（$\frac12<\alpha\le1$）且 $S+\bar S$ 为 log-Lipschitz 时，则对每个 $\epsilon>0$，存在一个 $C^{2\alpha-1-\epsilon}$ 同胚 $\Phi(t,z,s)$，使得 $S$ 由 $\Phi_*\partial_t,\Phi_*\partial_z\in C^{2\alpha-1-\epsilon}$ 张成。