具有长程相互作用的哈密顿系统与布朗系统：V. 随机动力学方程与涨落理论

我们发展了具有弱长程相互作用的布朗系统的涨落理论。对于这些系统，存在一个临界点，将均匀相与非均匀相分开。从控制涨落密度场演化的随机 Smoluchowski 方程出发，我们确定了围绕空间均匀平衡分布的密度涨落关联函数的表达式。在稳定区域中，我们发现密度涨落傅里叶分量的时间关联函数呈指数快速衰减，其速率与平均场 Smoluchowski 方程（无噪声）控制的微扰阻尼速率相同。另一方面，傅里叶空间中空间关联函数的振幅在临界点 $T=T_{c}$（或不稳定性阈值 $k=k_{m}$）处发散，这意味着平均场近似在临界点附近失效，且从均匀相到非均匀相的相变更早发生。相比之下，速度涨落的关联在临界点（或不稳定性阈值）保持有限。我们给出了布朗平均场 (BMF) 模型以及通过引力势和吸引性 Yukawa 势相互作用的布朗粒子的具体示例。我们还引入了一种用于细菌种群的趋化性随机模型，通过考虑涨落推广了平均场 Keller-Segel 模型。