分数布朗运动下的平均极限波动
概率论
2026-04-29 v1
摘要
本文考虑一种慢快系统,其中慢分量由 H > 1/2 的分数布朗运动驱动,快分量为马尔可夫平稳过程。我们基于 Young-Wiener 意义定义解映射,通过随机缝纶引理构建。随后旨在展示平均极限的波动。与标准布朗运动的情况不同,此处需扩展到非马尔可夫的分数设置,无法使用 Ito 随机分析处理,因此弱收敛分析也变得非常复杂。我们在此考虑两种情况:第一种假设驱动器为小噪声,慢分量完全依赖于快分量。特别地,由于小参数,分数布朗运动的积分与 Young 积分一致。注意到要应用泊松 PDE 方法,需要推导混合分数布朗运动的随机动力系统的 Young-Ito 公式。此外,快分量需满足与时间尺度参数相关的更严格的 Holder 条件。随后通过快分量的 Holder 半范数、泊松 PDE 解的性质以及线性 Young 微分方程的 Gronwall 型结果来推导紧性。展示的弱极限包含额外的高斯过程。第二部分致力于一般分数布朗运动下的问题。与前者不同,此处分数布朗运动积分项因泊松 PDE 解的正则性与快分量无限 Holder 半范数的耦合而更难界定。该问题通过 Young-Wiener-Ito 积分、慢分量的 Holder 正则性以及快分量的 Ergodicity 巧妙地解决。
引用
@article{arxiv.2604.25336,
title = {Fluctuation from averaging limit under fractional Brownian motion},
author = {Xiaoyu Yang and Yong Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.25336},
year = {2026}
}