平均意义下的 Hadamard 不等式

设 $Q$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lipschitz 区域，且 $f \in L^{\infty}(Q)$。我们研究泛函 $$I_n(\varphi)=\int_Q |\nabla \varphi|^n+ f(x)\,\mathrm{det} \nabla \varphi\, \mathrm{d}x$$ 对所有 $\varphi \in W_0^{1,n}(Q,\mathbb{R}^n)$ 满足 $I_n \geq 0$ 的条件，我们将此不等式称为平均意义下的 Hadamard 不等式，或（HIM）。我们证明存在分段常数 $f$ 使得（HIM）成立，且其严格强于仅由 Hadamard 不等式 $n^{\frac{n}{2}}|\det A|\leq |A|^n$ 可导出的最佳可能不等式。当 $f$ 仅取两个值时，我们发现（HIM）成立当且仅当 $f$ 在 $Q$ 中的变差至多为 $2n^{\frac{n}{2}}$。对更一般的 $f$，我们证明（i）决定（HIM）是否成立的是“跳跃集”的几何形状以及“跳跃”的大小；（ii）只要适当选取 $f$，其变差可超过 $2n^{\frac{n}{2}}$。具体而言，在平面情形 $n=2$ 下，我们将 $Q$ 分为三个区域 $\{f=0\}$ 与 $\{f=\pm c\}$，并证明只要 $\{f=0\}$ 充分“隔离” $\{f= c\}$ 与 $\{f= -c\}$，就存在 $c>2$ 使（HIM）成立。或许令人惊讶的是，即便隔离区域 $\{f=0\}$ 使得 $\{f=\pm c\}$ 在点上相接，（HIM）仍可成立。作为我们分析的一部分，并秉承 Mielke 与 Sprenger（1998）工作的精神，我们给出了在边界处拟凸的新函数例子。