$H^p$ 空间上的变差与 $\lambda$-跳跃不等式

设 $\phi\in \mathscr{S}$ 且 $\int\phi (x)\, dx=1$，定义 $$\phi_t(x)=\frac{1}{t^n}\phi (\frac{x}{t}),$$ 并将函数族 $\{\phi_t\ast f(x)\}_{t>0}$ 记为 $\Phi\ast f(x)$。假设存在常数 $C_1$ 使得对所有 $x\in \mathbb{R}^n$ 有 $$\sum_{t>0} |\hat{\phi}_t(x)|^2<C_1。$$ 则 (i) 存在常数 $C_2>0$ 使得对所有 $f\in H^p(\mathbb{R}^n)$、$\frac{n}{n+1}<p\leq 1$ 有 $$\|\mathscr{V}_2(\Phi\ast f)\|_{L^p}\leq C_2\|f\|_{H^p},\;\;\frac{n}{n+1}<p\leq 1。$$ (ii) $\lambda$-跳跃算子 $N_{\lambda}(\Phi\ast f)$ 满足 $$\|\lambda [N_{\lambda}(\Phi\ast f)]^{1/2}\|_{L^p}\leq C_3\|f\|_{H^p},\;\;\frac{n}{n+1}<p\leq 1,$$ 对某个常数 $C_3>0$ 关于所有 $\lambda >0$ 一致成立。