关于单位算子 $\mathcal{S}^p$-扰动下不可连续可微函数的值

考虑一个函数 $f : \mathbb{T} \to \mathbb{C}$，其在 $\mathbb{T}$ 上光滑 $n$ 次且其 $n$ 次导数 $f^{(n)}$ 有界但不一定连续。设 $U : \mathbb{R} \to \mathcal{U}(\mathcal{H})$ 为取值于某可分离希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上酉算子集合的函数。给定 $1<p<\infty$，记 $\mathcal{S}^p(\mathcal{H})$ 为 $\mathcal{H}$ 上的费谢滕类。若 $\tilde{U}:t\in\mathbb{R} \mapsto U(t)-U(0)$ 在 $\mathbb{R}$ 上光滑 $n$ 次的 $\mathcal{S}^p$-可微，则我们证明算子值函数 $\varphi : t\in\mathbb{R} \mapsto f(U(t)) - f(U(0)) \in \mathcal{S}^p(\mathcal{H})$ 同样在 $\mathbb{R}$ 上光滑 $n$ 次。该定理最优且推广了若干关于酉算子函数可微性的结果。$\varphi$ 的导数以多重算子积分形式给出，同时给出 $\varphi$ 的泰勒余项的 $\mathcal{S}^p$-估计。