非线性动力学框架下的 H 定理与广义熵

本研究在 Fokker-Planck 框架下考察最一般的非线性粒子动力学。我们指出动力学决定了广义熵的形式，并演示了 H 定理。粒子统计分布既可作为非线性演化方程的平稳解，也可作为广义熵的最大化状态。该方法允许在统一方案中处理已知的统计分布。以最近提出的 $\kappa$-指数 $\exp_{_{\{\kappa\}}}(x)= (\sqrt{1+\kappa^2x^2}+\kappa x)^{1/\kappa}$ 为构造动力学的例子，说明其在 $\kappa$ 趋于零时还原为标准指数，并在 $x \to \pm \infty$ 时呈现 $|2\kappa x|^{\pm 1/|\kappa|}$ 的幂律渐近行为。$\kappa$-动力学满足 H 定理，对于布朗粒子，平稳态为 $f=Z^{-1}\exp_{_{\{\kappa\}}}[-(\beta mv^2/2-\mu)]$，亦可通过在约束条件下最大化熵 $S_{\kappa}=\int d^n v [ c(\kappa)f^{1+\kappa}+c(-\kappa)f^{1-\kappa}]$（其中 $c(\kappa)=-Z^{\kappa}/ [2\kappa(1+\kappa)]$）得到。