矩阵乘积中的增长：最快、平均与普遍
群论
2025-08-11 v7 密码学与安全
组合数学
动力系统
概率论
摘要
本文所考察的问题如下。设 A 和 B 为 2x2 矩阵（实数域上）。设 w(A, B) 为长度为 n 的单词。在将 w(A, B) 计算为矩阵乘积后，我们得到一个 2x2 矩阵，称为 W。那么，W 中可能的最大绝对值元素是多少，作为长度为 n 的所有 w(A, B) 的函数？在随机长度为 n 的矩阵乘积中，每个矩阵为 A 或 B 的概率为 0.5，求最大绝对值元素的期望是多少？对于此类随机矩阵乘积，Lyapunov 指数是多少？我们对第一个问题给出部分答案，对第二个问题给出基本完整的答案。对于第三个问题（最困难的三个问题之一），我们提供一种非常简单的方法来产生对 Lyapunov 指数上界的估计，适用于矩阵 A 和 B 的所有元素均为非负数的情况。
关键词
引用
@article{arxiv.2405.00610,
title = {Growth in products of matrices: fastest, average, and generic},
author = {Vladimir Shpilrain},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.00610},
year = {2025}
}
备注
The paper has become obsolete