圆盘中二维 Patlak-Keller-Segel 模型的增长速率与精细渐近性

我们考虑了圆盘中 Patlak-Keller-Segel 系统的一个特殊情形，该情形产生于趋化现象的建模。对于总质量的某个临界值，已知其解在时间上是全局存在的，但其密度会变得无界，从而导致在无穷时间内的质量集中现象。我们确定了精确的增长速率，并获得了该解的精细渐近估计。与大多数近期研究的类似增长问题不同，该速率既不是多项式的也不是指数的。事实上，对于较大的时间，密度的最大值表现为 $e^{\sqrt{2t}}$。特别地，我们的研究为 Sire 和 Chavanis [Phys. Rev. E, 2002] 基于形式论证提出的行为提供了严格证明。