有限域上的群 $GL(\infty)$ 与双陪集的乘法

设 $\mathbb F$ 为有限域。考虑 $\mathbb F$ 的无限个拷贝的直和 $V$，考虑对偶空间 $V^\diamond$，即 $\mathbb F$ 的无限个拷贝的直积。考虑直和 ${\mathbb V}=V\oplus V^\diamond$。本文的研究对象是 $\mathbb V$ 中连续线性算子群 $\mathbf{GL}$。我们将 $\mathbf{GL}$ 的酉表示理论归约为某一范畴的射影表示，该范畴的态射是 $\mathbb F$ 上有限维线性空间中的线性关系。事实上，我们考虑 $\mathbb V$ 中保持二元旗的一族子群 $Q_\alpha$，证明在关于 $Q_\alpha$ 的双陪集空间上存在自然乘法，并将此乘法归约为线性关系的乘积。我们证明该群具有 type $\mathrm{I}$ 并获得 $\mathbf{GL}$ 所有不可约酉表示的“上估计”。