相对论原子非线性模型中的基态与电荷重整化

我们研究了约化的 Bogoliubov-Dirac-Fock (BDF) 能量，该能量用于描述在外静电势中与 Dirac 海相互作用的相对论电子。该模型可视为量子电动力学 (QED) 的平均场近似，其中忽略了光子和所谓的交换项。系统状态由其单体密度矩阵描述，这是一个无限秩的自伴算子，是自由 Dirac 算子（即 Dirac 海）负谱投影算子的紧扰动。我们研究了在电荷约束下约化 BDF 能量的最小化问题。我们证明了对于大范围的电荷值和任意正的耦合常数 $\alpha$，极小值的存在性。我们的结果涵盖了中性分子和带正电的分子，前提是正电荷不足以产生电子 - 正电子对。我们还证明了任何极小值的密度都是一个 $L^1$ 函数，并计算了系统的有效电荷，恢复了通常的电荷重整化：物理耦合常数与 $\alpha$ 的关系由公式 $\alpha_{\rm phys}\simeq \alpha(1+2\alpha/(3\pi)\log\Lambda)^{-1}$ 给出，其中 $\Lambda$ 是紫外截断。最后，我们证明了电荷为 $Z$ 的原子核所能束缚的最大电子数的估计值。在非相对论极限下，我们得出该数目 $\leq 2Z$，恢复了 Lieb 的结果。本工作基于 Hainzl、Lewin、Sere 和 Solovej 关于无光子 QED 平均场近似的一系列论文。