BDF 近似下电子基态的存在性

Bogoliubov-Dirac-Fock (BDF) 模型可用于描述与狄拉克海相互作用的相对论性电子。它可以被视为忽略了光子的量子电动力学 (QED) 的平均场近似。本文处理了在没有外场的情况下，电子与狄拉克海共存的系统。此类系统由其单体密度矩阵描述，这是一个无限秩的自伴算子，是自由狄拉克算子负谱投影子的紧扰动。模型的参数是耦合常数 $\alpha>0$ 和紫外截断 $\Lambda>0$：我们考虑平方可积函数的子空间，该子空间由傅里叶变换在球 $B(0,\Lambda)$ 之外为零的函数组成。我们证明了在电荷约束为一个电子且无外场的情况下，只要 $\alpha$、$\Lambda^{-1}$ 和 $\alpha\ln\Lambda$ 足够小，BDF 能量的极小值就存在。其解释如下：在此机制下，电子在狄拉克真空中产生极化，使其能够束缚。随后，我们研究了该系统的非相对论极限，其中光速趋于无穷大（或等价地 $\alpha$ 趋于零），同时保持 $\alpha\ln\Lambda$ 固定：经过重新标度后，电子解趋于 Choquard-Pekar 基态。