耦合于 KdV tau 函数的 $\mathbb{P}^1$ 的 Gromov-Witten 不变量

我们考虑自然的上同调类序列 $\Theta_{g,n}\in H^{2(2g-2+n)}(\overline{\cal M}_{g,n})$ 到稳定映射模空间 ${\cal M}^g_n(\mathbb{P}^1,d)$ 的拉回。这些类通过 $Z^{BGW}(\hbar,t_0,t_1,...)=\exp\sum\frac{\hbar^{2g-2}}{n!}\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}\Theta_{g,n}\cdot\prod_{j=1}^n\psi_j^{k_j}\prod t_{k_j}$ 与 KdV 层级的 Br\'ezin-Gross-Witten tau 函数相关。将这些类 $\Theta_{g,n}$ 的拉回插入定义 Gromov-Witten 不变量的积分中定义了新的不变量，我们证明在目标为 $\mathbb{P}^1$ 的情形下，它们由随机矩阵积分给出并满足 Toda 方程。