规范理论 Gromov-Witten 不变量与虚拟基本类

本文是作者在 Oberwolfach、Bochum 以及 Torino 的 Fano 会议上所作报告的扩充版本。其中包含了一些新结果(例如关于旗簇、$\P^1$ 上的 Quot 空间以及广义箭图表示的内容)。主要目标是构造与某些具有附加对称性的辛因子分解问题相联系的任意亏格的规范理论 Gromov-Witten 型不变量,并用复几何对象计算这些不变量。描述与辛因子分解问题相联系的模空间的主要工具是“泛 Kobayashi-Hitchin 对应”,它给出了某些偏微分方程不可约解的规范理论模空间与稳定带框全纯对象的复几何模空间之间的标准同构 ${\cal M}^*\to{\cal M}^{\rm st}$。我们陈述了一个一般情形的猜想:当规范理论问题为 Fredholm 型,且 ${\cal M}^{\rm st}$ 的数据为代数时,则 ${\cal M}^{\rm st}$ 容许 Behrend-Fantechi 意义下的标准完全障碍理论,且 Kobayashi-Hitchin 同构 ${\cal M}^*\to{\cal M}^{\rm st}$ 辨识了规范理论与代数的虚拟基本类。该猜想已在给出环簇的辛因子分解问题中得到验证。