$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的关系与负 $r$-自旋 Witten 猜想

我们构造并研究了 Witten $r$-自旋类（Witten $r$-spin class）的负自旋版本的各种性质。通过取扭曲自旋曲线模空间上某一向量丛的顶陈类（top Chern class），该向量丛参数化反典则丛（anticanonical bundle）的 $r$ 次根，我们构造了一个非半单上同调场论（CohFT），称之为 Theta 类 $\Theta^r$。该 CohFT 没有平坦单位（flat unit），其关联的 Dubrovin--Frobenius 流形处处非半单。尽管如此，我们构造了 Theta 类的半单形变，并利用 Teleman 重构定理得到了 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的 tautological 关系。我们进一步考虑 Theta 类的后代势（descendant potential）并证明它是满足一组 $\mathcal{W}$-代数约束的唯一解，这给出了后代积分的递推公式。利用 $r=2$ 时的该结果，我们证明了 Norbury 猜想，即 $\Theta^2$ 的后代势与 KdV 层级的 Brézin--Gross--Witten tau 函数一致。此外，我们猜想 $\Theta^r$ 的后代势是 $r$-KdV 层级的 $r$-BGW tau 函数，并证明了 $r=3$ 时的猜想。