任意两顶点间具有少量指定长度路径的图

我们利用 Bukh 随机代数方法的一个变体证明：对每个自然数 $k \geq 2$，存在一个自然数 $\ell$，使得对每个 $n$，都存在一个具有 $n$ 个顶点和 $\Omega_k(n^{1 + 1/k})$ 条边的图，其中任意两顶点间长度为 $k$ 的路径至多有 $\ell$ 条。Faudree 和 Simonovits 的一个结果表明，该边数上界在隐含常数意义下是紧的。