稀疏图中小色度割的研究

给定整数 $k$，记 $\ell_k$ 为使得每个足够大的平均度小于 $2\ell$ 的图 $G$ 都存在分离子集 $X \subseteq V(G)$，且 $\chi(G[X]) < k$ 的上确界。受 $\ell_1$、$\ell_2$ 和 $\ell_3$ 值的启发，自然猜想是 $\ell_k = k$ 对所有 $k$ 都成立。我们证明这一猜想失败得很快：平凡下界 $\ell_k \geq \tfrac{k}{2}$ 是紧的。更精确地，我们证明对于每个 $\varepsilon>0$ 和所有足够大的 $k$，都有 $\ell_k \leq (1+\varepsilon)\tfrac{k}{2}$。