漂移拉普拉斯算子的梯度估计与 Liouville 性质

本文讨论了 $X$-调和函数的 Liouville 性质，即 $\Delta_{X}u=0$ 的正解，其中 $X$ 是完整非紧致黎曼流形上的向量场，$\Delta_{X}$ 为漂移拉普拉斯算子。特别地，我们证明，如果 $X$-Bakry-Émery-Ricci 曲率 $\mathrm{Ric}_{X}$ 为非负，且 $X$ 的范数在无穷远处衰减为零，则流形具有 $X$-拉普拉斯的 Liouville 性质。该证明利用正解对半线性方程 $\Delta_{X}u+F(u)=0$ 的局部梯度估计，其中 $F$ 满足结构条件 $tF'(t)-F(t)\le\alpha$ 且 $|F(t)|\le\beta t$，且流形具有 $\mathrm{Ric}_{X}\ge-(n-1)K$。