顶点分解与旗化表格的 Gröbner 几何

我们将一种经典的代数几何退化技巧（至少可追溯到 [Hodge 1941]）与单纯复形的顶点分解概念联系起来。良好情形是该退化是约化的，我们称之为“几何顶点分解”。本文的主要例子是鞍点矩阵 Schubert 簇族，其理想也称为（单侧）阶梯行列式理想。利用对角项序来指定（Gröbner）退化，我们证明它们可几何顶点分解为同类型的更简单的簇。由此，结合 [Fomin--Kirillov 1996] 的管梦（pipe dreams）组合学，我们推导出一个关于它们的多重分次 Hilbert 级数的分子——双 Grothendieck 多项式——以“旗化集值表格（flagged set-valued tableaux）”表示的新公式。这统一了 [Wachs 1985] 关于旗化表格与 [Buch 2002] 关于集值表格的工作，赋予两者以几何意义。本工作聚焦于对角项序，给出与 [Knutson--Miller 2004] 互补的结果，其中证明了生成子式对任意反对角项序及任意矩阵 Schubert 簇构成 Gröbner 基。我们在此证明：在对角项序下，这些子式构成 Gröbner 基的矩阵 Schubert 簇只有鞍点型的那些，从而达到了阶梯行列式文献一直致力达成的目标。