正则幂零 Hessenberg 簇的几何顶点分解、Gröbner 基与 Frobenius 分裂

我们通过研究 A 型李代数中正则幂零 Hessenberg 簇这一特例，并聚焦于对应于 $GL_n(\mathbb{C})$ 的 Weyl 群 $S_n$ 的最长元素 $w_0$ 的仿射坐标图 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n) \cong GL_n(\mathbb{C})/B$，来 initiation Hessenberg 簇的局部定义理想的 Gröbner 几何研究。我们的主要结果如下。设 $h$ 为不可分解的 Hessenberg 函数。我们证明与 $h$ 相关的正则幂零 Hessenberg 簇 $\mathrm{Hess}(\mathsf{N},h)$ 在 $w_0$-坐标图中的局部定义理想 $I_{w_0,h}$ 关于适当选取的单项序具有一个 Gröbner 基。我们的 Gröbner 基由 Abe、DeDieu、Galetto 和第二作者得到的 $I_{w_0,h}$ 的一组生成元 $\{f^{w_0}_{k,\ell}\}$ 组成。我们还证明 $I_{w_0,h}$ 在 Klein 和 Rajchgot 的意义下（基于 Knutson、Miller 和 Yong 的工作）是几何顶点可分解的。我们对上述结果给出两种不同的证明。我们做出这种非常规的表述选择是因为我们的第一个证明引入并利用了具有独立意义的三角完全交的概念，而我们使用联络理论的第二个证明更有可能推广到 $w \neq w_0$ 的一般 $w$-坐标图。最后，利用上述对 $f^{w_0}_{k,\ell}$ 的 Gröbner 分析，并对任意素数 $p>0$，我们构造了 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ 的 $w_0$-坐标图的一个显式 Frobenius 分裂，它同时相容地分裂所有局部定义理想 $I_{w_0,h}$，其中 $h$ 取遍不可分解 Hessenberg 函数的集合。这最后一个结果是关于 $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$ 及其中 Schubert 与相反 Schubert 簇集合的一个经典结果的局部 Hessenberg 类比。