球面上的数字左拟群结构

在实数 Hilbert 空间 $\mathbf{H}$ 中的单位球面 $\mathbb{S}$ 上，我们导出一个二元运算 $\odot$，使得 $(\mathbb{S},\odot)$ 成为一个具有双边单位元 $\mathbf{e}_0$ 的幂结合 Kikkawa 左拟群，即它具有左逆、自同构逆和 $A_l$ 性质。运算 $\odot$ 与 $\mathbb{S}$ 的对称空间结构相容。$(\mathbb{S},\odot)$ 不是一个循环（loop），且那些非单射的右平移易于刻画。$(\mathbb{S},\odot)$ “几乎处处”满足左幂交错和左 Bol 恒等式，但并非处处满足。左平移处处解析；右平移除在 $-\mathbf{e}_0$ 处具有不可去间断点外均为解析。正交群 $O(\mathbf{H})$ 是 $(\mathbb{S},\odot)$ 与其自同构群的半直积（参见 http://www.arxiv.org/abs/math.GR/9907085）。$(\mathbb{S},\odot)$ 的左拟群结构为球面几何提供了一些 insights。