带特定非光滑核的 Volterra 积分微分方程时间离散格式的全局性态

本文利用 z 变换分析 Hilbert 空间中带非光滑多项核的 Volterra 积分微分方程（VIDEs）的时间离散解，该类连续问题最早由 Hannsgen 与 Wheeler（SIAM J Math Anal 15 (1984) 579-594）考虑并分析。本文讨论多项 VIDEs 积分中所含核 $\beta_q(t)$ 的三种情形，并针对不同情形采用相应数值技术逼近多项 VIDEs 的解。首先，对 $\beta_1(t), \beta_2(t) \in \mathrm{L}_1(\mathbb{R}_+)$ 的情形，将 Crank-Nicolson（CN）方法与插值求积（IQ）规则应用于多项 VIDEs 的时间离散解；其次，对 $\beta_1(t)\in \mathrm{L}_1(\mathbb{R}_+)$ 且 $\beta_2(t)\in \mathrm{L}_{1,\text{loc}}(\mathbb{R}_+)$ 的情形，采用二阶向后微分公式（BDF2）与二阶卷积求积（CQ）在时间方向上离散多项问题；第三，对 $\beta_1(t), \beta_2(t)\in \mathrm{L}_{1,\text{loc}}(\mathbb{R}_+)$ 的情形，利用 CN 方法与梯形 CQ（TCQ）规则在时间上逼近多项问题。随后，基于 z 变换与若干适当假设，证明了三种情形离散解的长期全局稳定性与收敛性。此外，数值试验证实了第三种情形的长期估计。