混沌边界上的秩序幽灵
动力系统
2016-10-31 v1
摘要
经典力学中会出现何种运动？我们通过考察相空间中轨迹所描绘的结构来探讨此问题；最有序的、完全可积的系统，其特征是相轨迹被限制在低维不变环面上。KAM 理论考察当一个可积系统受到微小扰动时环面会发生什么，并发现对于足够小的扰动，大多数环面得以存活。KAM 理论对破裂环面的主题保持沉默，但对于二维系统，Aubry 和 Mather 发现了令人惊叹的画面：破裂的环面被“cantori”（破碎的、原不变曲线的康托集残片）所取代。我们试图将 Aubry 和 Mather 的图景推广到更高维系统，并报告两类研究；两者均涉及完全可积的四维辛映射的扰动。在第一项研究中，我们计算了 Birkhoff 周期轨道的某些数值近似；此类轨道的序列应近似于 cantori 的任何高维类似物。在第二项研究中，我们证明了逆 KAM 定理；即，我们结合解析论证与严格的机器辅助计算，寻找如此大的扰动，使得没有任何 KAM 环面存活。我们能够表明，我们的最后几个 Birkhoff 轨道存在于无环面存在的区域中。
引用
@article{arxiv.1610.09170,
title = {Ghosts of Order on the Frontier of Chaos},
author = {Mark Muldoon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1610.09170},
year = {2016}
}
备注
PhD thesis in Physics, California Institute of Technology