$\mathbb{P}^2$ 稳定性散射图几何及其应用

我们对 Bousseau 引入的 $\mathbb{P}^2$ 稳定性散射图进行详细分析。该散射图位于 $\mathbb{R}^2$ 的子集中，我们将其划分为三个区域：$R_{\Delta}$、$R_{\Diamond}$ 和 $R_{\mathrm{unbdd}}$。区域 $R_{\Delta}$ 具有室结构，其室与强异常三元组一一对应。散射图的射线不会进入此类三角形内部，复制了 Prince 的结果，并推广了 Bousseau 的结果。区域 $R_{\Diamond}$ 被分解为菱形，与异常束一一对应。每个菱形都有一个对应秩为零对象的垂直对角线，且被密集射线遍历。关键的是，尽管存在密集射线，但菱形内部不存在射线碰撞，这使得在 $R_{\Diamond}$ 中仍可控制散射图。最终，$R_{\mathrm{unbdd}}$ 的行为呈混沌，其内每个有理点都是无数射线碰撞点。我们证明，有界区域 $R_{\mathrm{bdd}}= R_{\Delta}\cup R_{\Diamond}$ 的上边界为 Le Potier 曲线，从而表明该曲线自然地通过算法散射过程产生。我们给出此结果的应用，通过描述 $\mathbb{P}^2$ 上一维秩为零对象的模空间的第一层穿越来说明。随后，我们将这些结果用于描述 $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{P}^2)$ 对于任意 $n$ 的完整 Bridgeland 层穿越。