四元数单位球的切片正则莫比乌斯变换的几何

对于四元数单位球 $\mathbb{B}$，我们用 $\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 表示将 $\mathbb{B}$ 映射到自身的切片正则莫比乌斯变换的集合。我们在 $\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 上引入了一个光滑流形结构，使得 $\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 在 $\mathbb{B}$ 上的求值（作用）映射是光滑的。$\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 上的流形结构是通过将该集合实现为李群 $\mathrm{Sp}(1,1)$ 的商空间而获得的。此外，$\mathbb{B}$ 本身也是 $\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 和 $\mathrm{Sp}(1,1)$ 的商空间。这些商空间是在主纤维丛的意义下给出的。流形 $\mathcal{M}(\mathbb{B})$ 微分同胚于 $\mathbb{R}^4 \times S^3$。