凸几何的几何学

我们证明，$n$ 个点上的任意凸几何 $\mathcal{A}=(U,\mathcal{C})$ 及 $\mathcal{A}$ 的任意理想 $\mathcal{I}=(U',\mathcal{C}')$ 均可实现为 $\mathbb{R}^n$ 中的开凸多面体锥 $K\subseteq \mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^n$ 各卦限的相交模式。此外，我们证明 $K$ 可被选为具有至多 $m$ 个面，其中 $m$ 是 $\mathcal{A}$ 的临界有根圈的数量。我们还证明，凸维数为 $d$ 的任意凸几何可在 $\mathbb{R}^d$ 中实现，且维数为 $d$ 的任意多单纯复形（凸几何的理想的基本示例）可在 $\mathbb{R}^{2d}$ 中实现，并且这是最佳可能的结果。从我们的结果还可以得出，维数为 $d$ 的分配格可在 $\mathbb{R}^{d}$ 中实现，且中位系是可实现的。我们留下了一个未解问题，即维数为 $d$ 的每个中位系是否可在 $\mathbb{R}^{O(d)}$ 中实现。