二分序图几何实现

二分序图由一个无向图及其将边划分为短边和长边的分割组成。二分序图 $G$ 在度量空间 $X$ 中的几何实现是指 $G$ 在 $X$ 中的一种画法，其中每条长边严格长于每条短边。如果对于其边集的每一种短边和长边分割，$G$ 都在 $X$ 中存在几何实现，则称图 $G$ 在 $X$ 中是全二分的。我们展示了图 $G$ 的退化度与其全二分欧氏维数或球面维数之间非常密切的关系，即分别使 $G$ 在 $\mathbb{R}^k$ 或球面 $\mathbb{S}^k$ 中全二分的最小维数 $k$。首先，每个 $d$-退化图在 $\mathbb{R}^{d}$ 和 $\mathbb{S}^{d-1}$ 中都是全二分的，并且这些界限对于球面和 $\mathbb{R}^2$ 是紧的，对于 $d\ge 3$ 的 $\mathbb{R}^d$ 几乎是紧的。其次，每个在 $\mathbb{R}^k$ 中全二分的 $n$ 顶点图最多有 $\mu kn$ 条边，其中 $\mu<7.23$ 为某个绝对常数。这表明任何图的全二分欧氏维数与其退化度线性相关，并且在 $k\in \{1,2\}$ 的特殊情况下解决了 Alam、Kobourov、Pupyrev 和 Toeniskoetter 提出的开放问题。此外，我们刻画了哪些完全二分图在 $\mathbb{R}^2$ 中是全二分的：恰好是满足 $m\le 3$ 或 $m=4$ 且 $n\le 6$ 的 $K_{m,n}$。对于一般的二分图，如果短子图或长子图受到约束，我们可以保证其在 $\mathbb{R}^2$ 中的实现：即短子图是外平面图或矩形网格的子图，或者长子图构成毛毛虫图。