超曲面上Allen-Cahn能量的几何变分

我们引入一种Allen-Cahn型泛函 $\text{BE}_{\epsilon}$，它定义了闭黎曼流形分离超曲面 $Y$ 上的能量。我们建立了 $\text{BE}_{\epsilon}$ 到面积泛函的 $\Gamma$-收敛，并计算了该泛函在超曲面扰动下的一阶和二阶变分。随后我们计算了当 $\epsilon \to 0$ 时变分公式的显式展开。该证明的一个关键组成部分是线性化Allen-Cahn方程在 $Y$ 上为零的函数空间中关于解的不可逆性。我们还将 $\text{BE}_{\epsilon}$ 的指标和零维数与在 $Y$ 上为零的对应解的Allen-Cahn指标和零维数相联系。我们应用二阶变分公式和指标定理证明，$S^1$ 上 $2p$ 二面对称的Allen-Cahn解族具有指标 $2p - 1$ 和零维数 $1$。