自由群上测地流的几何熵

自由群$F$上的一个\emph{测地流}是$\partial^2 F$（即$\partial F$中不同点对构成的集合）上的一个$F$-不变测度。$F$上测地流空间是Culler-Vogtmann外空间$cv(F)$的自然伴随空间，对它们进行联合研究能提供关于这两个空间以及群$Out(F)$的新信息。本文的主要目的是引入并研究测地流$\mu$关于$cv(F)$中一点$T$（可视为$F$上的长度函数）的{\it几何熵}$h_T(\mu)$的概念。几何熵定义为$F$中双无限柱体的$\mu$-测度指数衰减的最慢速率，其中定义该柱体的词在$T$-长度趋于无穷大。我们得到了$h_{T'}(\mu_T)$的显式公式，其中$T,T'$是$cv(F)$中的任意点，$\mu_T$表示对应于$T$的Patterson-Sullivan测地流。该公式涉及体积熵$h(T)$以及$T$中距离相对于$T'$中距离的极值畸变。由此可知，给定投影外空间$CV(F)$中的$T$，$h_{T'}(\mu_T)$作为$T'\in CV(F)$的函数在$T'=T$处达到严格全局最大值。我们还证明，对任意$T\in cv(F)$和$F$上的任意测地流$\mu$，有$h_T(\mu)\le h(T)$，当$\mu=\mu_T$时等号成立。对于具有单纯度量（所有边长度均为1）的点$T\in cv(F)$，我们将测地流的几何熵与测度论熵联系起来。