非平坦区域中埃克曼边界层解的几何约束与适定数据

在非平坦边界附近构造埃克曼边界层解是一项复杂挑战，对此问题的研究有限。在 Masmoudi 的开创性工作 [Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), 432--483] 中，埃克曼边界层解在区域 $\mathbb{T}^2\times [\varepsilon f(x,y), 1]$ 上被研究，其中 $\varepsilon$ 为小常数，$f(x,y)$ 表示周期光滑函数。本研究考察了边界层内边界 $B(x,y)$ 的几何结构的影响。具体而言，对于区域 $\mathbb{R}^2\times[B(x,y), B(x,y)+2]$ 中准备充分的初始数据，若边界曲面 $B(x,y)$ 光滑且满足关于其高斯曲率和平均曲率的某些几何约束，则我们推导出一个近似边界层解。此外，根据曲率和不可压缩条件，所构造的极限系统是一个具有阻尼和旋转效应的二维原始方程组。从模型的背景来看，它反映了由旋转效应产生的特征。最后，我们验证了该近似解的收敛性。对边界 $B(x, y)$ 的振幅没有小量条件要求。