离散周期算子色散关系的普适性质

数学物理中的一个古老问题涉及具有周期势的 Schr"odinger 算子 $-\Delta+V(x)$（在 $R^n$ 中）的色散关系在谱边缘附近的结构。一个著名猜想称，普适地（关于周期势的扰动）极值由色散关系的单一分支取得，是孤立的，且具有非退化 Hessian（即色散关系是 Morse 函数的图形）。固态物理中有效质量的重要概念，以及 Liouville 性质、Green 函数渐近等，都依赖于此性质。证明该猜想的进展缓慢。自然地尝试考察离散问题，其中色散关系（在适当坐标下）是代数簇而非解析簇。此类模型常用于固态物理计算（紧束缚模型）。可惜，某些离散情形存在反例。我们开始建立如下二分性：极值的非退化性要么失效，要么在参数的真代数子集之补集中成立。已知反例仅有两个自由参数，这对普适性成立而言可能过于受限。我们考虑极大 $Z^2$-周期双原子最近胞相互作用图，其每单位胞有九条边及之上的离散“Laplace-Beltrami”算子。随后利用计算与组合代数几何方法证明该图的普适性猜想。我们给出三种不同的普适性论证途径，可适用于不同情形。并证明此情形下增加更多参数不会破坏普适性结果。我们列出所考虑图的全部“坏”周期子图，发现所有这些情况下普适性失效仅因“平凡”理由。