加权 Hilbert 空间 $L^2(\mathbb{C}, \mathrm{e}^{-|z|^2})$ 中算子 $\alpha \partial^k \bar{\partial}^{k} + \beta \bar{\partial}^k +\gamma \partial^k + c$ 的广义研究

基于 H"ormander 的 $L^2$ 方法，我们研究算子 $\alpha \partial^k \bar{\partial}^{k} + \beta \bar{\partial}^k +\gamma \partial^k + c$ 对于任意阶数 $k$，其中 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ 且 $(\alpha, \beta, \gamma) \neq(0,0,0)$，在加权 Hilbert 空间 $L^2(\mathbb{C}, \mathrm{e}^{-|z|^2})$ 中。我们证明了其右逆的存在性，且该逆算符也是有界的。随后我们将研究两个由该算子引发的情形，即：(1) 当 $\alpha= \gamma=0$ 时：算子 $\beta \bar{\partial}^{k} + c$ 其中 $|\beta| \geq 1$。(2) 当 $\beta= \gamma=0$ 时：算子 $\alpha \partial^{k} \bar{\partial}^{k} + c$ 其中 $|\alpha| \geq 1$。