广义 Lüroth 问题、层次化 I：SBNR——稳定双有理化的无分歧层与下 retract 有理

这是系列论文的第一篇，我们在有理性的层次结构上研究广义 Lüroth 问题的层次，从有理性与直纹性之间显然的层次开始。此处我们的首要目标是为完美基域 $k$ 上的有限型光滑（不必真）概形是“retract $(-i)$-有理的”构造非常一般的必要条件。我们通过在任何 Morel 无分歧层 $S$ 内部构造“稳定双有理化 Nisnevich 子层” $S_{sb}$ 来实现这一目标，其中 $S_{sb}$ 在有限型真光滑 $k$-概形上与 $S$ 一致。这样的稳定双有理化 Nisnevich 子层 $S_{sb}$ 为熟知的 Artin-Mumford、Saltman、Colliot-Thélène-Ojanguren、Bogomolov、Peyre、Colliot-Thélène-Voisin 等非有理例子，以及作为复数基域情形有限群 $G$ 的 Noether 问题反例而给出的许多其他 retract 非有理分类空间 $BG$ 例子，提供了新视角。事实上，从我们的层次视角看，对所有这些例子而言，游戏尚未结束！我们构造 $S_{sb}$ 的一个推论是：任意无分歧层 $S$ 在有限型真光滑 $k$-概形上的稳定双有理不变性。这特别意味着，对任意广义动机上同调理论，其朴素定义的无分歧（相应地，稳定双有理化）广义动机上同调理论在光滑真 $k$-概形（相应地，有限型光滑 $k$-概形）上是稳定双有理不变的。在构造 $S_{sb}$ 的过程中，我们还证明了任意几何赋值的第一类一般局部均匀化定理。