spin-1 粒子系统的广义交换算子

描述维数为 $(2S+1)^N$ 的 SU(2) 的不可约表示 $(SU(2),{\cal H},U)$，即作用于 $N$ 个自旋为 $S$ 的相同粒子所构成的空间 ${\cal H}={\cal H}_N={\bf C}^{(2S+1)^N}$ 的算子。通过 Clebsch-Gordan 分解到不等价不可约表示。在特殊情况下 $S=1/2$ 时，Dirac \cite{Dir1} 发现存在另一个表示 $({\cal S}(N),{\cal H},V)$，其中 ${\cal S}(N)$ 为置换群。因此，标准的“线性”哈密顿量，即 Heisenberg 相互作用哈密顿量 $H_0=\sum_{1\leq i\leq N}\vec S_i\cdot\vec S_j$，其中 $\vec \sigma_i=2\vec S_i$ 为 Pauli 矩阵向量，可以解释为粒子 $i$ 与 $j$ 之间交换算子 $P_{ij}$ 的和。Schr"odinger \cite{Sch} 将交换算子 $P_{ij}=P_S(\vec S_i\cdot \vec S_j)$ 推广到更高的自旋数 $S$，作为 $\vec S_i\cdot \vec S_j$ 的次数为 $2S$ 的多项式。这称为 $P$ 表示法。还有一种由单粒子状态置换算子 $\widetilde Q_\alpha$ 派生而来的表示，我们称为 $Q$ 表示。我们的主要任务是编写一些粒子的物理哈密顿量，分别在 $P$ 或 $Q$ 表示中计算其谱。最简单的情况是粒子数等于沿 $z$ 轴方向自旋算子可用状态的数量，即 $N=2S+1=3$，见 Weyl \cite{Wey} 或 Hamermesh \cite{Ham}。最后，我们考虑置换与旋转不变性在 $S=1/2$ 和 $S=1$ 时的关系。