容许具有 Tsallis 不变轮廓的自相似解的广义 Euler、Smoluchowski 和 Schrödinger 方程

带谐波势的阻尼等温 Euler 方程、Smoluchowski 方程和阻尼对数 Schrödinger 方程容许具有高斯轮廓的平稳解和自相似解。它们满足涉及 von Weizsäcker 泛函和 Boltzmann 泛函的自由能泛函的 $H$ 定理。我们推导这些方程的广义形式，以获得具有 Tsallis 轮廓的平稳解和自相似解。特别地，我们引入了一个非线性 Schrödinger 方程，涉及由指标 $q$ 表征的广义动能项和由指标 $\gamma$ 表征的幂律非线性项。我们推导了由涉及广义 von Weizsäcker 泛函（关联于 $q$）和 Tsallis 泛函（关联于 $\gamma$）的广义自由能泛函满足的 $H$ 定理。这导致了广义量子力学和广义热力学的概念。当 $q=2\gamma-1$ 时，我们的非线性 Schrödinger 方程容许具有 Tsallis 不变轮廓的精确自相似解。标准量子力学（Schrödinger）和标准热力学（Boltzmann）在 $q=\gamma=1$ 时恢复。