Sabitov 定理向任意维多面体的推广

Sabitov 于 1996 年证明，3 维欧几里得空间 $\R^3$ 中任意单纯多面体 $P$ 的体积 $V$ 满足关于 $V$ 的首一多项式关系 $F(V,l)=0$，其中 $l$ 表示 $P$ 的边长平方集合。作者于 2011 年证明了该结论对 $\R^4$ 中的多面体同样成立。本文证明，该结果在任意维数 $n\ge 3$ 下均成立。此外，我们表明这不仅适用于单纯多面体，也适用于所有具有三角形 2-面的多面体。作为推论，我们获得了 Connelly 于 1978 年提出的著名“风箱猜想”在任意维度的证明。该猜想声称任何柔性多面体的体积是恒定的。此外，我们获得了以下更强的结果：若 $P_t$（$t\in [0,1]$）是多面体的连续形变，且 $P_t$ 的组合类型不变，同时 $P_t$ 的每个 2-面均与 $P_0$ 的对应面全等，则 $P_t$ 的体积保持恒定。我们还从正交边长出发，获得了 $\C^n$ 中复单纯多面体有向体积的非平凡估计。