柔性多面体的德恩不变量

我们证明，在维数大于等于 3 的欧几里得空间中，任意柔性多面体在弯曲过程中的德恩不变量保持不变。在 3 维和 4 维情形中，这意味着任意柔性多面体在弯曲过程中始终保持与自身的剪刀全等。这证明了 Connelly 于 1979 年提出的强风箱猜想。人们曾认为该猜想已被 Alexandrov 与 Connelly 在 2009 年证伪，但我们发现其反例中存在一处错误。进一步，我们证明在维数大于等于 3 的球面或罗巴切夫斯基空间中，柔性多面体的德恩不变量在弯曲过程中保持不变，当且仅当该多面体满足通常的风箱猜想，即其体积在每次弯曲中保持恒定。利用第一作者先前的成果，我们推得：在奇维罗巴切夫斯基空间中，每个有界柔性多面体的德恩不变量在弯曲中恒定；在任意维数大于等于 3 的常曲率空间中，边长足够小的任意柔性多面体的德恩不变量在弯曲中亦恒定。